الجبر الخطي الأمثلة

أوجد القيم الذاتية/المتجهات الذاتية [[1,0],[6,-1]]
[106-1][1061]
خطوة 1
أوجِد القيم الذاتية.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI2)p(λ)=محدِّد(AλI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 22 هي المصفوفة المربعة 2×22×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001][1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI2)p(λ)=محدِّد(AλI2).
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة AA التي تساوي [106-1][1061].
p(λ)=محدِّد([106-1]-λI2)p(λ)=محدِّد([1061]λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2I2 التي تساوي [1001][1001].
p(λ)=محدِّد([106-1]-λ[1001])p(λ)=محدِّد([1061]λ[1001])
p(λ)=محدِّد([106-1]-λ[1001])p(λ)=محدِّد([1061]λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λλ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ1λ0λ0λ1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -11 في 11.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λλ0λ0λ1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ0λ0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 00 في -11.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ0λ-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ0λλ0λ1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 00 في λλ.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ0λ0λ1])
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ0λ0λ1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ0λ0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 00 في -11.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ00λ-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ00λλ1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 00 في λλ.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ00-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ00λ1])
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ00-λ1])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ00λ1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -11 في 11.
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ00λ])
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ00λ])
p(λ)=محدِّد([106-1]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([1061]+[λ00λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1-λ0+06+0-1-λ]p(λ)=محدِّد[1λ0+06+01λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.3.1
أضف 00 و00.
p(λ)=محدِّد[1-λ06+0-1-λ]p(λ)=محدِّد[1λ06+01λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 6 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ06-1-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ06-1-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ06-1-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)(-1-λ)-60
خطوة 1.5.2
بسّط المحدد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.1
وسّع (1-λ)(-1-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1(-1-λ)-λ(-1-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1-1+1(-λ)-λ(-1-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1-1+1(-λ)-λ-1-λ(-λ)-60
p(λ)=1-1+1(-λ)-λ-1-λ(-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=-1+1(-λ)-λ-1-λ(-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.2
اضرب -λ في 1.
p(λ)=-1-λ-λ-1-λ(-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.3
اضرب -λ-1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.3.1
اضرب -1 في -1.
p(λ)=-1-λ+1λ-λ(-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.3.2
اضرب λ في 1.
p(λ)=-1-λ+λ-λ(-λ)-60
p(λ)=-1-λ+λ-λ(-λ)-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=-1-λ+λ-1-1λλ-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=-1-λ+λ-1-1(λλ)-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=-1-λ+λ-1-1λ2-60
p(λ)=-1-λ+λ-1-1λ2-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=-1-λ+λ+1λ2-60
خطوة 1.5.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=-1-λ+λ+λ2-60
p(λ)=-1-λ+λ+λ2-60
خطوة 1.5.2.1.2.2
أضف -λ وλ.
p(λ)=-1+0+λ2-60
خطوة 1.5.2.1.2.3
أضف -1 و0.
p(λ)=-1+λ2-60
p(λ)=-1+λ2-60
خطوة 1.5.2.1.3
اضرب -6 في 0.
p(λ)=-1+λ2+0
p(λ)=-1+λ2+0
خطوة 1.5.2.2
أضف -1+λ2 و0.
p(λ)=-1+λ2
خطوة 1.5.2.3
أعِد ترتيب -1 وλ2.
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2-1=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.1
أضف 1 إلى كلا المتعادلين.
λ2=1
خطوة 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±1
خطوة 1.7.3
أي جذر لـ 1 هو 1.
λ=±1
خطوة 1.7.4
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.4.1
أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ ± لإيجاد الحل الأول.
λ=1
خطوة 1.7.4.2
بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ ± لإيجاد الحل الثاني.
λ=-1
خطوة 1.7.4.3
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
خطوة 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([106-1]-[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1
اطرح العناصر المتناظرة.
[1-10-06-0-1-1]
خطوة 3.2.2
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.2.1
اطرح 1 من 1.
[00-06-0-1-1]
خطوة 3.2.2.2
اطرح 0 من 0.
[006-0-1-1]
خطوة 3.2.2.3
اطرح 0 من 6.
[006-1-1]
خطوة 3.2.2.4
اطرح 1 من -1.
[006-2]
[006-2]
[006-2]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[0006-20]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.1
Swap R2 with R1 to put a nonzero entry at 1,1.
[6-20000]
خطوة 3.3.2.2
Multiply each element of R1 by 16 to make the entry at 1,1 a 1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.2.1
Multiply each element of R1 by 16 to make the entry at 1,1 a 1.
[66-2606000]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R1.
[1-130000]
[1-130000]
[1-130000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-13y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[y3y]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[131]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[131]|yR}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[131]}
{[131]}
{[131]}
خطوة 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=-1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([106-1]+[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1
اجمع العناصر المتناظرة.
[1+10+06+0-1+1]
خطوة 4.2.2
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.2.1
أضف 1 و1.
[20+06+0-1+1]
خطوة 4.2.2.2
أضف 0 و0.
[206+0-1+1]
خطوة 4.2.2.3
أضف 6 و0.
[206-1+1]
خطوة 4.2.2.4
أضف -1 و1.
[2060]
[2060]
[2060]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=-1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[200600]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
[220202600]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[100600]
[100600]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-6R1 to make the entry at 2,1 a 0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-6R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1006-610-600-60]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[100000]
[100000]
[100000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[0y]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[01]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[01]|yR}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[01]}
{[01]}
{[01]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[131],[01]}
(
(
)
)
|
|
[
[
]
]
{
{
}
}
A
A
7
7
8
8
9
9
B
B
4
4
5
5
6
6
/
/
^
^
×
×
>
>
π
π
1
1
2
2
3
3
-
-
+
+
÷
÷
<
<
!
!
,
,
0
0
.
.
%
%
=
=
 [x2  12  π  xdx ]